阁笔趣

2病人候诊问题（第2页）

（2）　t时刻有n个顾客，在[t，t+Δt]内有一个顾客到来，同时也有一个顾客离开，其概率为λΔtμΔtPn（t）；

（3）　t时刻有n-1个顾客，在[t，t+Δt]内有一个顾客到来，没有顾客离开，其概率为λΔt（1－μΔt）Pn（t）；

（4）　t时刻有n+1个顾客，在[t，t+Δt]内没有顾客到来，有一个顾客离开，其概率为（1-λΔt）μΔtPn（t）。

因此，在t+时刻，系统中有n个顾客的概率为pn（t+Δt）满足：

pn（t+Δt）=pn（t）（1－λΔt－μΔt）+pn+1（t）μΔt+pn－1（t）λΔt+ο（Δt）

pn（t+Δt）－pn（t）Δt=λpn－1（t）+μpn+1（t）－（λ+μ）pn（t）+ο（Δt）Δt

令Δt→0得

dpn（t）dt=λpn－1（t）+μpn+1（t）－（λ+μ）pn（t），n=1，2，…（n≠0）

考虑特殊情形：

当n=0时，即在t+Δt时刻时系统内没有顾客的状态，同理，它由以下三个互不相容的事件组成：

（1）　t时刻系统中没有顾客，在[t，t+Δt]内没有顾客来，概率为（1-λΔt）P0（t）；

（2）　t时刻系统中没有顾客，在[t，t+Δt]内有一个顾客到达，接受完服务后又离开，其概率为λΔtμΔtP0（t）；

（3）　t时刻系统内有一个顾客，在[t，t+Δt]内该顾客离开，没有顾客来，其概率为（1-λΔt）μΔtP1（t）

所以dp0（t）dt=－λp0（t）+μp1（t）

因此就得到系统状态应服从的模型：

dp0（t）dt=－λp0（t）+μp1（t）

dpn（t）dt=λpn－1（t）+μpn+1（t）－（λ+μ）pn（t），n=1，2，…（n≠0）

5。　模型求解

为评估系统的服务质量，判断其运行特征，需要根据上面的模型求解该系统的如下运行指标：系统中平均顾客数L，系统中平均正在排队的顾客数Lq，顾客在系统中平均逗留时间W，顾客平均排队等待的时间Wq，系统内服务台空闲的概率，即顾客来后无需等待的概率p0。

所求得的模型，是有无限个方程组成的微分方程组，求解相当麻烦。在实际的应用中，我们只需要知道系统在运行了很长时间后的稳态解，即假设当t充分大时，系统的概率分布已不随时间变化，达到了统计平衡。

在稳态时，pn（t）与t无关，dpn（t）dt=0，pn（t）=pn，从而得到一差分方程：

－λp0+μp1=0

λpn－1+μpn+1－（λ+μ）p0=0，n≥1（4。6）

令ρ=λμ，它表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例，它是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称ρ为服务强度。我们的问题求解将在ρ