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5多项式曲线预测模型（第2页）

我们仍然用最小二乘法确定二次抛物线趋势模型中的系数b0，b1，b2。设时间序列的各期数据为yi（i=1，2，…，n），令

Q（b0，b1，b2）=∑nt=1（yi-y∧i）2=∑ni=1（yi-b0-b1ti-b2t2i）2

达到最小。如果仍把时间原点取在时间序列期数的正中间，那么根据高等数学多元函数的极值原理，可求得

b0=∑ni=1yi∑ni=1t4i-∑ni=1t2i∑ni=1t2iyin∑ni=1t4i-∑ni=1t2i2

b1=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i

b2=n∑ni=1t2iyi-∑ni=1yi∑ni=1t2in∑ni=1t4i-∑ni=1t2i2

例6。6某商店某种商品的销售量如表67所示，试预测2010年的销售量。

表67某产品销售量统计表单位：万件

年份199920002001200220032004200520062007

销售量10182530。535384039。538

图63某产品销售量的散点图（1999—2007）

解：该时间序列的散点图呈一条由低到高再低的曲线，且各期数据的二阶差分大致相等（见表68第四列），故建立二次抛物线趋势模型：y∧t=b0+b1t+b2t2。根据表68，将∑yi=274，∑t2i=60，∑t4i=708，∑yiti=214，∑yit2i=1613。5

代入公式，计算得b0=35。05，b1=3。57，b2=-0。69。所以二次抛物线趋势模型为

y∧t=35。05+3。57t-0。69t2

将2010年对应的时间t=7代入趋势模型，即可得到2010年商品销售量的预测值为

y∧2010=35。05+3。57×7-0。69×49=26。23万件。

表68二次抛物线趋势模型预测法计算表

年份销售量yiΔyiΔ2yi时间tit2it4iyitiyit2i

199910——-416256-40160

2000188—-3981-54162

2001257-1-2416-50100

200230。55。5-1。5-111-30。530。5

2003354。5-100000

2004383-1。51113838

2005402-1241680160

200639。5-0。5-2。53981118。5355。5

合计274——0607082141613。5

3。　指数曲线预测模型

（1）　一次指数曲线预测模型

大量研究表明，很多现象的发展相对于时间是按指数或接近指数规律增长的，例如文献的数量、飞机的速度、计算机的存储量和处理速度等，特别是技术发展的初期阶段、经济现象的发展过程都呈现指数曲线的趋势。一次指数曲线趋势模型的表达式为：

y∧t=a·bt

图64一次指数曲线的图形

其图形如图64所示，且ytyt-1=b。因此，当时间序列的散点图接近于图64的图形，或相邻两期数据比大致相等时，可用一次指数曲线趋势预测模型对时间序列进行预测。

对一次指数曲线趋势模型两边同时取对数，得

lny∧t=lna+lnb·t

令lny∧t=Y∧t，lna=A，lnb=B，就把一次指数曲线趋势模型转化为直线趋势模型