阁笔趣

1导数的概念（第2页）

利用导数的定义求导，一般分三步：

第一步求增量Δy=f（x+Δx）－f（x）；

第二步算比值ΔyΔx=f（x+Δx）－f（x）Δx；

第三步取极限y′=limΔx→0ΔyΔx。

下面利用导数的定义来导出几个基本初等函数的导数公式。

例213利用导数的定义，求函数y=x2的导数f′（x）。

解f′（x）=limΔx→0（x+Δx）2－x2Δx=limΔx→0（2x+Δx）=2x，

即（x2）′=2x。

对于一般的幂函数y=xμ，我们可以给出一个类似的结果，（xμ）′=μxμ－1（μ为实数，x0）。例如，当μ=12时，y=x12=x（x0）的导数为（x）′=12x；

当μ=－1时，y=x－1=1x（x≠0）的导数为1x′=－1x2。

例214利用导数的定义证明（sinx）′=cosx。

证明（sinx）′=limΔx→0sin（x+Δx）－sinxΔx=limΔx→02sinΔx2cosx+Δx2Δx

=limΔx→0sinΔx2Δx2·cosx+Δx2=cosx。

同理可得（cosx）′=－sinx。

例215利用导数的定义求函数f（x）=logax（a0，a≠1）的导数f′（x）。

解f′（x）=limh→0loga（x+h）－logaxh=limh→0logax+hxh

=limh→01hloga1+hx=limh→0loga1+hx1h

=1xlimh→0loga1+hxxh=1xlogae=1xlna。

即（logax）′=1xlna。特别地，（lnx）′=1x。

例如，（log3x）′=1xln3。

类似地，可以用导数的定义求出其他基本初等函数的导数。

基本初等函数的求导公式表如下：

（1）　常数（C）′=0。

（2）　幂函数（xμ）′=μxμ－1（μ为实数，x0）。

（3）　指数函数（ax）′=axlna，特别的有：（ex）′=ex。

（4）　对数函数（logax）′=1xlna，特别的有：（lnx）′=1x。

（5）　三角函数

（sinx）′=cosx；（cosx）′=－sinx。

（tax）′=－csc2x。

（secx）′=sex；（cscx）′=－cscxcotx。

（6）　反三角函数

（arx）′=11－x2；（arccosx）′=－11－x2；

（arx）′=11+x2；（arccotx）′=－11+x2。

例216已知f（x）=sinxx